Решим уравнение
\(2(x^2+2x)^2-7(x^2+2x)=-3 \qquad (1)\)
путём введения новой переменной.
Обозначим \(x^2+2x\) через \(y\):
\(x^2+2x = y.\)
Тогда уравнение (1) приводится к квадратному уравнению с неизвестной \(y\):
\(2y^2 - 7y + 3 = 0. \qquad (2)\)
Решим уравнение (2) методом дискриминанта.
Общий вид квадратного уравнения:
\(ay^2+by+c=0.\)
Для уравнения (2): \(a=2, b=-7, c=3\).
Находим дискриминант:
\(D=b^2-4ac=(-7)^2-4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 > 0.\)
Так как \(D>0\), поэтому уравнение (2) имеет два действительных корня, которые вычисляются по следующей формуле:
\(y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}.\)
То есть,
\(y_1 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
\(y_2 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3\).
Отсюда
\(x^2+2x = \frac{1}{2}\)
или
\(x^2+2x = 3\).
Решим уравнение \(x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0\) методом дискриминанта.
Для этого уравнения: \(a=1, b=2, c=-\frac{1}{2}\).
Находим дискриминант:
\(D=b^2-4ac=2^2-4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 4 + 2 = 6 > 0.\)
Так как D>0, поэтому данное уравнение имеет два действительных корня, которые вычисляются по следующей формуле:
\(x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}.\)
Таким образом,
\(x_{1} = \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}.\)
\(x_{2} = \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}.\)
Решим уравнение \(x^2+2x - 3 = 0\) методом дискриминанта.
Для этого уравнения: \(a=1, b=2, c=-3\).
Вычислим дискриминант:
\(D = b^2-4ac = 2^2-4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12= 16 > 0.\)
Так как \(D>0\), поэтому данное уравнение имеет два действительных корня, которые вычислим по следующей формуле:
\(x_{3,4}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2\cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2} = -1 \pm 2.\)
То есть,
\(x_{3} = -1 - 2 = -3.\)
\(x_{4} = -1 + 2 = 2 -1 = 1.\)
Таким образом, уравнение (1) имеет четыре корня:
\(x_1 = \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}, \quad x_2 = \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}, \quad x_3 = -3, \quad x_4 = 1.\)
Проверка.
1. Так как
\(\begin{multline}
\left(\frac{-2 - \sqrt{6}}{2}\right)^2+2\left(\frac{-2 - \sqrt{6}}{2}\right) = \left(\frac{-2 - \sqrt{6}}{2}\right) \cdot \left(\frac{-2 - \sqrt{6}}{2} + 2\right) = \\
= \left(-\frac{\sqrt{6}}{2} - 1 \right) \cdot \left(-1 - \frac{\sqrt{6}}{2} + 2\right) = \left(-\frac{\sqrt{6}}{2} - 1 \right) \cdot \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + 1\right) = \\
= \left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 - 1^2 = \frac{6}{4} - 1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\end{multline}\)
поэтому
\(2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 7\cdot\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{4} - \frac{7}{2} = -3.\)
2. Так как
\(\begin{multline}
\left(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}\right)^2+2\left(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}\right) = \left(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}\right) \cdot \left(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2} + 2\right) = \\
= \left(\frac{\sqrt{6}}{2} - 1 \right) \cdot \left(-1 + \frac{\sqrt{6}}{2} + 2\right) = \left(\frac{\sqrt{6}}{2} - 1 \right) \cdot \left(\frac{\sqrt{6}}{2} + 1\right) = \\
= \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 - 1^2 = \frac{6}{4} - 1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\end{multline}\)
поэтому
\(2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 7\cdot\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{4} - \frac{7}{2} = -3.\)
\(3. \quad 2((-3)^2+2\cdot (-3))^2-7((-3)^2+2\cdot (-3)) = 2\cdot (9-6)^2 - 7\cdot (9-6) = 2\cdot 9 - 7\cdot 3 = -3.\)
\(4. \quad 2(1^2+2\cdot 1)^2-7(1^2+2\cdot 1) = 2\cdot 3^2 - 7\cdot 3 = 2\cdot 9 - 21 = -3.\)
